Mathematical-Logic2
Before：哎呀数理逻辑真的好抽象😭本来英语就烂，还有一大堆新定义的符号，绕在一起，感觉更像是在学语言而不是数学😥再加上周五晚上连上3节😅
Result：果断重开了
Decision：我一定要用中文把这门课搞清楚，抵制洋文！！！
Mathematical Logic 2 一阶逻辑的语义
Structure 结构
在不同的场合下，同一个一阶逻辑命题可能有不同的含义。如对∀v0Rv0v0，既可以解读成“任意自然数都整除自己”（真），也可以解读成“任何实数都小于自己”（假）
So：讨论语义时首先需要确定讨论的数学对象
刚刚的例子中，自然数和实数明确了讨论对象取自怎样的集合，这个集合称作域（universe），记为A
确定符号集中每个符号的含义，就是确定每个符号对应的元素、集合或映射具体是什么：
- 一个n元关系就是某个A^n的子集 a(R)
- 一个n元函数就是某个A^n到A的映射 a(f)
- 每个常数符号对应A中某个特定元素 a(c)
我们把这个从符号到其具体含义的映射记为a。
A 和 a 确定了一阶逻辑中变量的“定义域”和符号集中每个符号的含义。我们把二元组(A,a)记为 𝔄，称作S-结构。
对于符号集S = {R,f,c}，我们通常将a(R)写作$R^𝔄$或$R^A$，a(f)写作$f^𝔄$或$f^A$，a(c)写作$c^𝔄$或$c^A$。
Interpretation 解释
Structure给出了变量的定义域和符号集的语义，但我们接下来还有terms和formulas
一个term的语义是从一个term到universe中一个元素的映射——$\beta$
为了确定这个映射，我们首先需要知道term中的每个变量代表universe当中的哪个元素，这就是要我们给出一个$v_i$ -> A 的映射$\beta$
所以我们把一个S-structure和一个S-assignment的二元组称作I = (𝔄,$\beta$)
定义解释的语义
- 对于变量x，I(x) = $\beta$(x)
- 对于常量c，I(c) = $c^𝔄$
- 对于n元函数关系f $\in$ S，$t_1,t_2,…,t_n$均为S-terms。那么有I(ft_1 … t_n) = $f^𝔄$(I(t_1),I(t_2),…,I(t_n))
formula的语义是从一个term到“真或假”的映射(类似于bool?)
对于一个formula 𝜑 ，我们用记号 I |= 𝜑 来表示 公式 𝜑 的语义为真，读作I 满足𝜑 ，|= 即称为满足关系。（ 解释 I 满足公式 𝜑 ）
下面是一些原子性/关于逻辑连词/量词的情况
(a) 当且仅当I(t_1)，I(t_2)是universe下的同一个元素
(b) 当且仅当 (I(t_1),…,I(t_n)) 属于$R^𝔄$
(c) 当且仅当 解释I 不满足公式 𝜑
(d) 当且仅当 解释I 满足公式 𝜑 且 解释I 满足公式Ψ
(e) 当且仅当 解释I 满足公式 𝜑 或 解释I 满足公式Ψ
(f) （一个有点神奇的解释）当且仅当 I |= φ（语法上）表明解释I 满足公式 𝜑 （语义上）
(g) 当且仅当（还有一个当且仅当，亿点点绕）（解释I 满足 公式 𝜑 当且仅当解释I 满足公式Ψ）
比较复杂的就是 ∀ 和 ∃
(h) 想说的意思是：当且仅当universe中每个元素为公式 𝜑 中出现的x赋值并保持其他变量赋值不变，公式 𝜑 始终不变
为此我们定义一个描述为formula中的某个特定变量赋特殊的值的方便的符号：
于是新的解释I 变为了：
这表示在解释I 中，将变量 𝑥 的赋值修改为 𝑎，其他部分保持不变。
于是(h)表示的即为：对于域 𝐴中的每一个元素 𝑎，如果将 𝑥 赋值为 𝑎，公式 𝜑 都为真。
(i) （也是同理）存在域 𝐴中的一个元素 𝑎，如果将 𝑥 赋值为 𝑎，公式 𝜑 为真。
如果一个公式 𝜑 是valid(恒真)，那么所有的解释都能满足公式 𝜑
逻辑推论的定义：
Φ 是一个S-公式的集合；
公式 𝜑 是一个单独的S-公式
如果 Φ |= 𝜑，表示 𝜑 是 Φ 的逻辑推论，即公式 𝜑 可以从 Φ 中逻辑推导出来
我们称公式 𝜑 是可满足的，如果存在一个S-解释I，使得公式 𝜑 在解释I下为真
公式 𝜑 和公式 Ψ 是逻辑等价的，如果 𝜑 |= Ψ 且 Ψ |= 𝜑
Reference
这位博主真的救命，讲的太清楚了